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串联谐振
2021-12-16

在许多电路中,谐振是一个非常重要的现象。共振的研究非常有用,特别是在通信领域。例如,无线电接收器选择某个频率,由一个电台发射并消除其他电台的频率的能力是基于共振原理。在串联 RLC 电路中,根据 X L和 X C X L的值,电流滞后或超前外加电压,导致总电流滞后外加电压,而 X C导致总电流超前外加电压。电压。当 X L > X C 时,电路主要是电感性的,当 X= > X L 时,电路主要是电容性的。但是,如果串联 RLC 电路的参数之一以电路中的电流与施加的电压同相的方式变化,则称该电路处于谐振状态。


串联谐振

考虑图 26.1 所示的串联 RLC 电路。


image.png

串联 RLC 电路的总阻抗为


\[Z=R + j\,\left( {X_L^{} - {X_C}} \right)\,=\,R + j\,\left( {\omega L - {1 \over {\omega C}}} \右)\]


由电路可知,电流I=V S /Z。


如果电流与施加的电压同相,则称该电路处于谐振状态。在串联 RLC 电路中,当 X L =X C时发生串联谐振。发生共振的频率称为共振频率。由于 X L =X C,串联 RLC 电路中的阻抗是纯电阻性的。在谐振频率f - [R ,跨越电容和电感的电压大小相等。由于它们彼此异相180 0,它们相互抵消,因此零电压出现在 LC 组合上。


共振时


\[{X_L}={X_C}\,\,ie\,\,\omega L\,=\,{1 \over {\omega C}}\]


求解谐振频率,我们得到


\[2\pi {f_r}L\,=\,{1 \over {2\pi {f_r}C}}\]


\[f_r^2={1 \over {4{\pi ^2}LC}}\]


\[{f_r}=\,{1 \over {2\pi \sqrt {LC} }}\]


在串联 RLC 电路中,通过改变频率,保持 L 和 C 不变,可能会产生谐振;否则,通过改变固定频率的 L 或 C 可能会产生共振。


26.2. 串联谐振电路的阻抗和相角


串联 RLC 电路的阻抗为


\[\左| Z \right|\,=\,\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - {1 \over {\omega C}}} \right)}^2}}\]


X C和 X L随频率的变化如图 26.2 所示。


image.png

在零频率下,X C和 Z 都无限大,而 X L为零,因为在零频率下,电容器充当开路,而电感器充当短路。随着频率的增加,X C减小而 X L增加。由于 X C大于 X L,在低于谐振频率 \[{f_r}\] 的频率下,Z 与 X C一起减小。在谐振频率 \[{f_r},{X_C}={X_L},\,Z=R.\] 在谐振频率以上的频率 \[{f_r},{X_L}\] 大于 X C,导致 Z来增加。作为频率函数的相位角如图 26.3 所示。


在低于谐振频率的频率下,电流超前于电源电压,因为容抗大于感抗。相位角随着频率接近谐振值而减小,并且在谐振时为 0 0。在谐振频率以上,电流滞后于电源电压,因为感抗大于容抗。随着频率升高,相位角接近 90 0。


image.png

26.3. 串联谐振电路中的电压和电流


阻抗和电流随频率的变化如图 26.4 所示。


在谐振频率下,容抗等于感抗,因此阻抗最小。由于阻抗最小,流过电路的电流最大。绘制了电流随频率的变化。


电阻、电感和电容两端的压降也随频率变化。在 \[f=0\] 处,电容器充当开路并阻止电流。完整的电源电压出现在电容器两端。随着频率的增加,X C减小而 S L增加,导致总电抗 X C -X L减小。结果,阻抗减小而电流增大。随着电流增加,V R也增加,V C和V L 都增加。


当频率达到谐振值\[{f_r}\] 时,阻抗等于R,因此电流达到最大值,V R处于最大值。


当频率增加到高于谐振频率时,X L -X C增加。结果不断减小,造成总电抗。结果是阻抗增加而电流减少。随着电流减小,V R也减小,V C和V L 都减小。随着频率变得非常高,电流接近零,V R和 V C 都接近零,而 V L接近 V S。


image.png

不同电压随频率的响应如图26.5所示


模块 1 第 26 课 图 26.5


image.png

当 \[f={f_r}\] 时,阻力下降达到最大值。电容器两端的最大电压出现在 \[f={f_e}\] 处。类似地,电感两端的最大电压出现在 \[f={f_L}\] 处。


\[{V_L}=I{X_L}\]


其中 \[I={V \over Z}\]


\[= \,{{\omega LV} \over {\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - {I \over {\omega C}}} \right)}^2 }} }}\]


为了获得电感器上最大电压的条件,我们必须对上述方程对频率求导,并将其设为零。


\[{{d{V_L}} \over {d\omega }}=0\]


如果我们求解 ω,我们就得到了当 V L最大时的 ω值


\[{{d{V_L}} \over {d\omega }}={d \over {d\omega }}\left\{ {\omega LV{{\left[ {{R^2} + {{ \left( {\omega L - {1 \over {\omega C}}} \right)}^2}} \right]}^{ - 1/2}}} \right\}\]


\[LV{\left( {{R^2} + {\omega ^2}{L^2} - {{2L} \over C} + {1 \over {{\omega ^2}{C^2 }}}} \right)^{ - 1/2}}\]


image.png

由此


image.png

同样,电容器两端的电压为


image.png

得到最大值 \[{{d{V_C}} \over {d\omega }}=0\]


如果我们求解 ω,我们就可以得到 V C最大时的 ω值。


\[{{d{V_C}} \over {d\omega }}=\omega C{1 \over 2}{\left[ {{R^2} + {{\left( {\omega L - {1 \over {\omega C}}} \right)}^2}} \right]^{ - 1/2}}\left[ {2\left( {\omega L - {1 \over {\omega C} }} \right)\,\left( {L + {1 \over {{\omega ^2}C}}} \right)} \right]\]


       \[+ \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - {1 \over {\omega C}}} \right)}^2}\,\,C = 0}\]


由此


\[\omega _C^2\,=\,{1 \over {LC}}\, - \,{{{R^2}} \over {2L}}\]


\[{\omega _C}\,=\sqrt {{1 \over {LC}}\, - \,{{{R^2}} \over {2L}}} \,\]


\[{f_C}\,=\,{1 \over {2\pi }}\sqrt {{1 \over {LC}}\, - \,{{{R^2}} \over {2L}} } \,\]


电容器两端的最大电压出现在谐振频率以下;电感两端的最大电压出现在谐振频率之上。


26.4. RLC 电路的带宽


任何系统的带宽是电流或输出电压等于其谐振频率值的 70.7% 的频率范围,用 BW 表示,图 26.6 显示了串联 RLC 电路的响应。


image.png

这里频率\[{f_1}\]是电流为谐振值电流的0.707倍时的频率,称为下截止频率。频率\[{f_2}\]是电流为谐振值(即最大值)电流的0.707倍时的频率,称为上截止频率。带宽或 BW,定义为 \[{f_2}\,\,and\,\,{f_1}\] 之间的频率差。


\[BW\,\,=\,\,{f_2} - {f_1}\]


BW 的单位是赫兹 (Hz)。


如果 P 1处的电流为 0.707I max,则此时电路的阻抗为 \[\sqrt {2R,}\] ,因此


\[{1 \over {{\omega _1}C}} - {\omega _1}L = R ..................................... .........................\left( {26.1} \right)\]


类似地,\[{\omega _2}L - {1 \over {{\omega _2}C}} = R ..................... .....................\left( {26.2} \right)\]


如果我们将上面的两个等式都相等,我们得到


\[{1 \over {{\omega _1}C}} - {\omega _1}L={\omega _2}L - {1 \over {{\omega _2}C}}\]


\[L\left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right)={1 \over C}\left( {{{{\omega _1} + {\omega _2}} \over { {\omega _1}{\omega _2}}}} \right)................................. ...................\left( {26.3} \right)\]


从方程。26.3,我们得到


\[{\omega _1}{\omega _2}={1 \over {LC}}\]


我们有 \[\omega _r^2={1 \over {LC}}\]


\[\omega _r^2={\omega _1}{\omega _2}................................ ...................\left( {26.4} \right)\]


如果我们添加方程 8.1 和 8.2,我们得到


\[{1 \over {{\omega _1}C}} - {\omega _1}L + {\omega _2}L - {1 \over {{\omega _2}C}}=2R\]


\[\left( {{\omega _2} - {\omega _1}} \right)L + {1 \over C}\left( {{{{\omega _2} - {\omega _1}} \over { {\omega _1}{\omega _2}}}} \right) = 2R ..................................... ...................\left( {26.5} \right)\]


由于 \[C={1 \over {\omega _r^2L}}\]


                        和 \[{\omega _1}{\omega _2}=\omega _r^2\]


\[\left( {{\omega _2} - {\omega _1}} \right)L + {{\omega _r^2\left( {{\omega _2} - {\omega _1}} \right)} \over {\omega _r^2}} = 2R ..................................... .......\left( {26.6} \right)\]


从方程。26.6,我们有


\[{\omega _2} - {\omega _1} = {R \over L}................................ .....................\left( {26.7} \right)\]


\[{f_2} - {f_1}={R \over {2\pi L}} ..................................... ......................\left( {26.8} \right)\]


或 \[BW\,=\,{R \over {2\pi L}}\]


从方程。26.8,我们有


\[{f_2} - {f_1}={R \over {2\pi L}}\]


\[{f_r} - {f_1}={R \over {4\pi L}}\]


\[\,{f_2} - {f_1}={R \over {4\pi L}}\]


频率下限 \[{f_1}={f_r} - {R \over {4\pi L}}........................ ....................\left( {26.9} \right)\]


频率上限 \[{f_2}={f_r} - {R \over {4\pi L}}........................ ....................\left( {26.10} \right)\]


如果我们将方程两边除以 \[{f_r}\] ,我们得到


\[{{{f_2} - {f_1}} \over {{f_r}}}={R \over {2\pi {f_r}L}} ..................... ....................................\left( {26.11} \right)\]


这里定义了线圈的一个重要特性。它是线圈的电抗与其电阻的比值。该比率定义为线圈的 Q。Q 被称为品质因数,也称为品质因数,是线圈质量的指标。


\[Q{{{X_1}} \over R}={{2\pi {f_r}L} \over R}...................... ....................\left( {26.12} \right)\]


如果我们将 Eq.26.11 代入 Eq.26.12,我们得到


\[{{{f_2} - {f_1}} \over {{f_r}}}={1 \over Q}......... ....................\left( {26.13} \right)\]


上限和下限截止频率有时称为半功率频率。在这些频率下,来自电源的功率是在谐振频率下传输的功率的一半。


在谐振频率下,功率为


\[{P_{\max }}=I_{\max }^2R\]


在频率 ,功率为


类似地,在频率 \[{f_2}\] 处,功率为 \[{P_1}={\left( {{{{I_{\max }}} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2 }\,\,R = {{I_{\max }^2R} \over 2}\]


\[{P_2}={\left( {{{{I_{\max }}} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}\,R\]


\[={{I_{\max }^2R} \over 2}\]


图 26.6 中的响应曲线也称为电路的选择性曲线。选择性表示谐振电路对特定频率的响应程度并消除所有其他频率。带宽越窄,选择性就越大。


26.5. 品质因数 (Q) 及其对带宽的影响


品质因数 Q 是电感器或电容器中的无功功率与与线圈或电容器串联的电阻中的实际功率之比。


品质因数


\[Q=2\pi\times {{\max imum\,energy\,\,stored} \over {energy\,\,dissipated\,per\,cycle}}\]


在电感器中,存储的最大能量为 \[{{L{I^2}} \over 2}\]


每个周期耗散的能量 = \[{\left( {{I \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}\,\,R \times T\, = \,{{{I^2}RT } \超过2}\]


线圈品质因数


image.png

\[={{2\pi fL} \over R}={{\omega L} \over 2}\]


类似地,在电容器中,存储的最大能量为 \[{{C{V^2}} \over 2}\]


每个周期耗散的能量 \[={\left( {I/\sqrt 2 } \right)^2}R \times T\]


电容电路的品质因数


image.png

在串联电路中,品质因数 \[Q={{\omega L} \over R}={1 \over {\omega CR}}\]


我们已经讨论了带宽和品质因数之间的关系,即 \[Q={{{f_r}} \over {BW}}\] 。


较高的电路 Q 值导致较小的带宽。Q 值越低,带宽越大。


26.6. 共振放大


如果我们假设施加到串联 RLC 电路的电压为 V,谐振电流为 I,则 L 两端的电压为 V L =IX L =(V/R) ω,L


同样,C 两端的电压


\[{V_C} = I{X_C}={V \over {R{\omega _r}C}}\]


由于 Q = 1/ω r CR = ω r L/R


其中 w r是谐振频率。


因此 V L = VQ


                                    V C = VQ


L 或 C 两端的电压与谐振时施加的电压之比可以定义为放大倍数。


放大倍数 = Q = V L / V 或 V C / V


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