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串联谐振电路公式
2021-12-14

电路频率响应的最突出特征可能是其幅度特性中表现出的尖峰(或谐振峰)。共振的概念适用于科学和工程的多个领域。


共振发生在任何具有复共轭极对的系统中;它是储存能量从一种形式振荡到另一种形式的原因。


串联谐振


正是这种现象允许在通信网络中进行频率区分。任何具有至少一个电感器和一个电容器的电路都会发生谐振。


串联谐振

谐振是 RLC 电路中的一种条件,其中容抗和感抗的大小相等,从而导致纯电阻阻抗。


串联或并联谐振电路可用于构建滤波器,因为它们的传递函数可以具有高度的频率选择性。它们用于许多应用,例如在无线电和电视接收器中选择所需的电台。


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在频域中考虑图(1)所示的串联RLC电路。输入阻抗为


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或者


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当传递函数的虚部为零时会产生共振,或


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满足该条件的ω 值称为谐振频率ω 0。因此,谐振条件为


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或者


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由于ω 0 = 2 πf 0,


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请注意,在共振时:


阻抗是纯电阻性的,因此,Z = R。换言之,LC串联组合就像短路一样,整个电压都在R两端。

电压V小号和电流我是同相的,从而使功率因数为一。

传递函数H (ω) = Z (ω)的幅度最小。

电感电压和电容电压可以远大于源电压。

电路电流幅值的频率响应


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如图(2)所示;当频率轴是对数时,该图仅显示此图中所示的对称性。


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RLC电路消耗的平均功率为


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当I = V m /R 时,耗散的最高功率发生在谐振处,因此


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在某些频率ω = ω 1 , ω 2 处,耗散功率是最大值的一半;那是,


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因此,ω 1和ω 2被称为半功率频率。


半功率频率是通过设置Z等于√ 2 R 获得的,并写成


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求解ω ,我们得到


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我们可以将半功率频率与谐振频率联系起来。从方程(5)和(12),


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表明谐振频率是半功率频率的几何平均值。请注意,ω 1和ω 2通常不围绕谐振频率ω 0对称,因为频率响应通常不对称。


然而,正如稍后将解释的,谐振频率周围的半功率频率的对称性通常是一个合理的近似值。


尽管图(2)中曲线的高度由R决定,但曲线的宽度取决于其他因素。响应曲线的宽度取决于带宽B,其定义为两个半功率频率之间的差异,


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这种带宽定义只是常用的几种定义之一。严格来说,方程(14)中的B是半功率带宽,因为它是半功率频率之间的频带宽度。


谐振电路中谐振的“锐度”由品质因数Q定量测量。在谐振时,

电路中的无功能量在电感器和电容器之间振荡。品质因数将存储的最大或峰值能量与每个振荡周期电路中耗散的能量相关联:


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它也被认为是衡量电路的能量存储特性与其能量耗散特性相关的指标。在串联RLC电路中,存储的峰值能量为1/2 LI 2,而一个周期内耗散的能量为1/2 (I 2 R)( 1 /f ) 。因此,


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或者


image.png

请注意,品质因数是无量纲的。将

等式(12)代入等式(14)并利用等式(17)得到带宽B与品质因数Q之间的关系。


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或B = ω 0 2 C R 。因此


谐振电路的品质因数是其谐振频率与其带宽之比。


请记住,方程(5)、(12)、(17)和(18)仅适用于串联RLC电路。


如图(3)所示,Q值越高,电路的选择性越强,但带宽越小。该选择性的的RLC电路是电路响应的一定的频率和歧视所有其他频率的能力。


如果要选择或拒绝的频带很窄,则谐振电路的品质因数必须很高。如果频带很宽,则品质因数必须低。


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图 3. 电路 Q 越高,带宽越小


谐振电路设计为在其谐振频率或接近其谐振频率下工作。当其品质因数等于或大于 10时,称为高Q电路。


对于高Q电路(Q ≥ 10 ),出于所有实际目的,半功率频率围绕谐振频率对称,可以近似为


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高Q电路经常用于通信网络。


我们看到谐振电路的特征在于五个相关参数:两个半功率频率ω 1和ω 2、谐振频率ω 0、带宽B和品质因数Q 。


串联谐振示例


让我们尝试分析下面的 RLC 电路:


在图(4)的电路中,R = 2 & ,L = 1 mH,C = 0 。4 µF 。


(a) 求谐振频率和半功率频率。(b) 计算品质因数和带宽。(c)确定的幅度的电流在ω 0 ,ω 1 ,和ω 2 。


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解决方案:


(a) 谐振频率为


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方法一:


下半功率频率为


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串联谐振同样,上半功率频率为


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串联谐振(b) 带宽为


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或者


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串联谐振品质因数是


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方法二


或者,我们可以找到


串联谐振从 Q 中,我们发现


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由于Q > 10,这是一个高Q电路,我们可以得到半功率频率为


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如之前获得的。


(c) 在ω = ω 0 时,


image.png

在ω = ω 1 , ω 2 ,


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