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串联谐振电路
2021-10-11

到目前为止,我们已经分析了源电压为固定频率稳态正弦电源的串联 RLC 电路的行为,我们还在关于串联 RLC 电路的教程中看到,两个或多个正弦信号可以使用相量组合,前提是它们具有相同的频率供应,但是,如果将幅度固定但频率不同的电源电压施加到电路上,电路的特性会发生什么变化,此外,由于这种变化的频率,电路“频率响应”行为对两个电抗组件有何影响。


在串联 RLC 电路中,当电感的感抗值与电容器的容抗值相等时,就会出现一个频率点,换句话说,X L  = X C,发生这种情况的点称为电路的谐振频率点 (  ƒ r  ),当我们分析串联 RLC 电路时,该谐振频率会产生串联谐振


串联谐振


串联谐振电路是电气和电子电路中最重要的电路之一,它们可以在各种形式中找到,例如交流电源滤波器、噪声滤波器以及无线电和电视调谐电路,产生用于接收不同频道的非常有选择性的调谐电路,考虑下面的简单串联 RLC 电路。


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串联RLC电路


首先,让我们定义我们已经知道的关于串联 RLC 电路的内容


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根据上述感抗方程,如果频率或电感增加,则电感器的总感抗值也将增加,随着频率接近无穷大,电感器的电抗也会随着电路元件的作用像开路一样向无穷大增加,然而,当频率接近零或直流时,电感器的电抗会降低到零,导致相反的效果,就像短路一样,这意味着感抗与频率“成正比”,在低频时很小,在高频时很高,如下曲线所示:


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感抗与频率的关系图是一条直线线性曲线,电感器的感抗值随着其频率的增加而线性增加,因此,感抗为正,与频率成正比 ( X L  ∝ ƒ ),上面的容抗公式也是如此,但反过来,如果频率或电容增加,则总容抗将减少,当频率接近无穷大时,电容器电抗会降低到几乎为零,从而使电路元件表现得像一个 0Ω 的完美导体,但是当频率接近零或直流电平时,电容器的电抗会迅速增加到无穷大,使其表现得像一个非常大的电阻,变得更像是开路条件,这意味着对于任何给定的电容值,容抗与频率“成反比”,如下所示:


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容抗与频率的关系图是一条双曲线,电容器的电抗值在低频时具有非常高的值,但随着其两端频率的增加而迅速降低,因此,容抗为负且与频率成反比 ( X C  ∝ ƒ -1 )。


我们可以看到这些电阻的值取决于电源的频率,X L在较高频率时较高,而X C在低频时较高,那么必须有一个频率点,其中X L的值与X C的值相同,并且存在,如果我们现在将感抗曲线放在容抗曲线的顶部,使两条曲线在同一轴上,交点将为我们提供串联谐振频率点,(  ƒ r或ω r  ),如下所示.


串联谐振频率


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其中:ƒ r以赫兹为单位,L以亨利为单位,C以法拉为单位


当两个相反且相等的电抗的影响相互抵消时,交流电路中就会发生电谐振,因为X L  = X C,上图中发生这种情况的点是两条电抗曲线相互交叉,在串联谐振电路中,谐振频率ƒ r点可以计算如下,


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串联 rlc 共振方程

 

然后我们可以看到,在谐振时,两个电抗在数学上相互抵消,因为 X L – X C = 0,这使得串联 LC 组合充当短路,串联谐振电路中唯一与电流相反的是电阻,R,在复数形式中,谐振频率是串联 RLC 电路的总阻抗变为纯“真实”的频率,即不存在虚阻抗,这是因为在共振时它们被抵消了,因此串联电路的总阻抗变为电阻值,因此:   Z = R,然后在谐振时,串联电路的阻抗处于最小值,仅等于电路的电阻R,谐振时的电路阻抗称为电路的“动态阻抗”,根据频率,X C(通常在高频)或   X L(通常在低频)将支配谐振的任一侧,如下所示,


串联谐振电路中的阻抗


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请注意,当容抗主导电路时,阻抗曲线本身具有双曲线形状,但当感抗主导电路时,由于X L的线性响应,曲线是非对称的,您可能还注意到,如果电路阻抗在谐振时处于最小值,那么电路导纳必须处于最大值,串联谐振电路的特征之一是导纳非常高,但这可能是一件坏事,因为谐振时的电阻值非常低意味着流经电路的电流可能非常高。


我们回忆起之前关于串联 RLC 电路的教程,串联组合两端的电压是V R、V L和V C的相量和,然后,如果在谐振时两个电抗相等并抵消,则代表V L和V C的两个电压也必须相反且值相等,从而相互抵消,因为对于纯组件,相量电压在 +90 o和 -90处绘制o分别,然后在串联谐振电路中,当V L  = -V C 时,产生的无功电压为零,并且所有电源电压都在电阻器上下降,因此,V R  = V supply并且正是出于这个原因,串联谐振电路被称为电压谐振电路(与作为电流谐振电路的并联谐振电路相反)。


谐振时的串联 RLC 电路


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由于流过串联谐振电路的电流是电压除以阻抗的乘积,因此在谐振阻抗时,Z处于其最小值 (  =R  ),因此,该频率下的电路电流将处于其最大值V/R,如下所示,


谐振时的串联电路电流


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串联谐振电路的频率响应曲线表明,电流的大小是频率的函数,将其绘制在图表上表明响应从接近零开始,当I MAX  = I时在谐振频率处达到最大值R然后再次下降到接近零,因为ƒ变得无穷大,这样做的结果是,电感器L和电容器C两端的电压幅度可能比电源电压大许多倍,即使在谐振时也是如此,但由于它们相等且相反,它们会相互抵消。


由于串联谐振电路仅在谐振频率上起作用,因此这种类型的电路也称为接受器电路,因为在谐振时,电路的阻抗处于最小值,因此很容易接受频率等于其谐振频率的电流。


您可能还会注意到,由于通过谐振电路的最大电流仅受电阻值(纯真实值)的限制,因此在此频率下,源电压和电路电流必须彼此同相,那么串联谐振电路的电压和电流之间的相位角对于固定电源电压也是频率的函数,并且在谐振频率点为零时:V,I 和 V R都彼此同相为如下所示,因此,如果相位角为零,则功率因数因此必须为 1。


串联谐振电路的相角


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共振相位角

 

另请注意,相位角对于高于ƒ r 的频率为正,对于低于ƒ r 的频率为负,这可以通过以下方式证明,


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串联谐振时的相角



串联谐振电路的带宽


如果串联 RLC 电路由恒定电压下的可变频率驱动,则电流大小I与阻抗Z成正比,因此在谐振时,电路吸收的功率必须处于最大值,因为P =I2 Z.


如果我们现在降低或增加频率,直到串联谐振电路中电阻器吸收的平均功率是其谐振最大值的一半,我们会产生两个称为半功率点的频率点,它们比最大值低 -3dB,以 0dB 作为最大电流参考.


这些 -3dB 点为我们提供了一个电流值,该值是其最大谐振值的 70.7%,定义为:  0.5( I 2 R ) = (0.707 x I) 2 R,那么对应于一半功率的较低频率的点称为“下截止频率”,标记为ƒ L对应于一半功率的较高频率的点称为“上截止频率”,标记为ƒ H . 这两个点之间的距离,即 ( ƒ H  – ƒ L ) 称为带宽(BW),并且是频率范围,在该范围内至少提供一半的最大功率和电流,如图所示:


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串联谐振电路的带宽

 

上述电路电流幅度的频率响应与串联谐振电路中谐振的“锐度”有关,峰值的锐度是定量测量的,称为电路的品质因数 Q,品质因数将电路中存储的最大或峰值能量(电抗)与每个振荡周期中耗散的能量(电阻)相关联,这意味着它是谐振频率与带宽的比值,电路Q越高,则越小带宽,Q = ƒ r /BW.


由于带宽取自两个 -3dB 点之间,因此电路的选择性是衡量其抑制这些点任一侧任何频率的能力的指标,更具选择性的电路将具有更窄的带宽,而更少选择性的电路将具有更宽的带宽,串联谐振电路的选择性可以通过仅调整电阻值来控制,保持所有其他组件相同,因为Q = (X L或 X C )/R.


串联 RLC 谐振电路的带宽

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那么串联谐振电路的谐振、带宽、选择性和品质因数之间的关系被定义为:


1),谐振频率,(ƒ r )


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2),电流,(I)


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3),下截止频率 (ƒ L )


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4),上限截止频率,(ƒ H )


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5),带宽,(BW)


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6). 品质因数 (Q)


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串联谐振示例 1


由 30Ω 电阻器、2uF 电容器和 20mH 电感器组成的串联谐振网络连接在正弦电源电压上,该电压在所有频率下均具有 9 伏的恒定输出,计算谐振频率、谐振电流、谐振时电感器和电容器两端的电压、电路的品质因数和带宽,还要为所有频率绘制相应的电流波形。


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1. 共振频率,ƒ r


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2. 谐振时的电路电流,I m


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3.感抗共振,XL


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4. 电感器和电容器两端的电压V L、V C


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注意:电源电压可能只有 9 伏,但在谐振时,电容器 V C和电感器 V L两端的无功电压峰值为 30 伏!


5. 品质因数,Q


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6. 带宽,BW


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7.上下-3dB频率点,ƒ H和ƒ L


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8. 电流波形


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串联谐振示例 2


串联电路由一个 4Ω 的电阻、一个 500mH 的电感和一个连接在 100V、50Hz 电源上的可变电容组成,计算产生串联谐振条件所需的电容,以及在谐振点电感和电容器两端产生的电压,


共振频率,ƒ r


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电感器和电容器两端的电压V L、V C


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串联谐振总结


为了在任何电路中发生谐振,它必须至少有一个电感器和一个电容器


当存储的能量从电感器传递到电容器时,谐振是电路中振荡的结果


当X L  = X C且传递函数的虚部为零时,会发生共振


在谐振时,电路的阻抗等于电阻值,因为Z = R


在低频下,串联电路是电容性的:X C  > X L,这使电路具有领先的功率因数


在高频下,串联电路是感性的:X L  > X C,这使电路具有滞后的功率因数


谐振时的高电流值会在电感器和电容器两端产生非常高的电压值


串联谐振电路可用于构建高频选择滤波器,但是,其高电流和非常高的组件电压值可能会损坏电路


谐振电路频率响应的最突出特征是其振幅特性中的尖锐谐振峰


由于阻抗最小而电流最大,串联谐振电路也称为接受器电路


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